¿Existe algún permiso para el cuidado de familiares cuando están enfermos?

Sí, el Estatuto de los Trabajadores en el Art. 37.3 b) establece que el trabajador previo aviso y justificación podrá ausentarse del trabajo, con derecho a remuneración, durante dos días por accidente o enfermedad grave, hospitalización o intervención quirúrgica sin hospitalización que precise reposo domiciliario, de parientes hasta el segundo grado de consaguinidad o afinidad. Cuando con tal motivo el trabajador necesite hacer un desplazamiento al efecto, el plazo será de 4 días.